Aukštinančio keitiklio grandinėse tekančių stovių vidutinių ir efektinių verčių skaičiavimas

Konstruojant galios keitiklius vienas iš svarbių klausimų yra aktyviosios galios nuostolių keitiklio grandinėse vertinimas. Jei analizuojamą grandinę sudaro tik rezistyviniai elementai, pvz. tam tikrą vidinę varžą turinti droselis, tai aktyvieji galios nuostoliai bus proporcingi analizuojama grandine tekančios srovės efektinės vertės kvadratui. Jei analizuojamą grandinę sudaro netiesiniai elementai, pvz. diodas, tai papildomai atsiranda nuo srovės vidutinės vertės priklausanti nuostolių dedamoji. Taigi, vertinant nuostolius būtina mokėti apskaičiuoti tiek vidutines tiek efektines srovių vertes. Tokio skaičiavimo pavyzdžiai ir bus analizuojami šiame aprašyme.

Atstojamoji aukštinančio keitiklio schema

Labai supaprastinta atstojamoji analizuojamo keitiklio schema yra pateikta 1 pav.. Šioje schemoje keitiklio energijos kaupimo droselis pakeistas srovę $i_{\rm L}$ generuojančiu srovės šaltiniu $J_{\rm L}$ . Galios raktai schemoje pakeisti idealizuotais raktais ST ir SD, kuriais teka srovės $i_{\rm T}$ ir $i_{\rm D}$ atitinkamai. Realiose aukštinančio keitiklio schemose rakto ST funkciją atlieka tranzistorius o SD – diodas arba tranzistorius. Apkrovą keitikliui sudaro lygiagrečiai su filtro kondensatoriumi $C_{\rm f}$ sujungtas apkrovos rezistorius $R_{\rm a}$ . Iš 1 pav. pav. matyti, kad įtampa apkrovoje bus $u_{\rm a}=\varphi_{\rm a}$ .

Ekvivalentinė aukštinančio keitiklio schema ir srovių oscilogramos — 1 pav. Atstojamoji aukštinančio keitiklio schema ir srovių oscilogramos

Taip pat 1 pav. pav. schematiškai nubraižytos skirtingais keitiklio elementais tekančių srovių diagramos tam atvejui, kai keitiklis veikia netrukių srovių rėžimu. Diagramose simboliu $T_{\tenrm k}$ pažymėtas keitiklio komutavimo periodas o užpildomumo koeficientas $\gamma$ apibrėžiamas kaip laiko trukmės kai laidus raktas ST santykis su keitiklio komutacijos periodu, t. y. $\gamma=T_{\rm ST}/T_{\rm k}$ . Laiko intervalas $0\leq t\leq\gamma T_{\rm k}$ atitinka keitiklio energijos kaupimo o $\gamma T_{\rm k}<t\leq T_{\rm k}$ — atidavimo fazę.

Realaus droselio apvijai būdinga ir aktyvioji varžos dedamoji, todėl labai preciziškai vertinant srovė droselyje kinta eksponentiškai, tačiau atsižvelgiant į tai, kad keitiklių komutacijos periodas visada parenkamas daug trumpesnis už ekvivalentinės LR grandies laiko pastoviąją laikoma, kad srovė droselyje kinta tiesiškai. Priėmus tokią prielaidą energijos kaupimo metu srovė droselyje, kaip tai pavaizduota 1 pav., tiesiškai padidėja nuo $i_{\rm min}$ iki $i_{\rm max}$ o atidavimo – tiesiškai sumažėja nuo $i_{\rm max}$ iki $i_{\rm min}$ .

Sinchroniškai valdomame keitiklyje raktai ST ir SD komutuojami paeiliui ir todėl energijos kaupimo etape laidus tik raktas ST o atidavimo – SD. Laidžiu raktu tekančios srovės stipris lygus $i_{\rm L}$ o kai atitinkamas raktas nelaidus srovės stipris jame lygus nuliui, kaip ir atvaizduota 1 pav. pateiktose $i_{\rm ST}$ ir $i_{\rm SD}$ kreivėse. Iš to aišku, kad raktuose tekančios srovės bus trūkios, t. y. raktų komutavimo momentais srovės stipris kis šuoliškai.

Siekiant galutinėse išraiškose turėti kaip galima mažiau nepriklausomų kintamųjų srovių išraiškas pageidautina parametrizuoti, t. y. charakteringas signalo vertes susieti pasirinktais koeficientais. Šiuo atveju iš 1 pav. matyti, kad srovei droselyje $i_{\rm L}$ būdinga pjūklinė signalo forma charakterizuojama maksimalia, vidutine ir minimalia srovės vertėmis. Visas tris vertes galima susieti parametru:

\alpha\equiv{{i_{\rm max}-i_{\rm min}}\over{i_{\rm vid}}}.

(1)

Fizikinė koeficiento $\alpha$ prasmė būtų srovės pulsacijų amplitudės ir vidutinės srovės verčių santykis. Kuo $\alpha$ mažesnis tuo mažesnė srovės pulsacijų amplitudė. Vertė $\alpha=2$ atitinka netrukių srovių ribą ir tai būtų maksimali koeficiento vertė. Atsižvelgiant į įvestą $\alpha$ koeficientą srovės $i_{\rm L}$ kitimas laiko intervale $0\leq t<\gamma T_{\rm k}$ aprašomas funkcija:

i_{L} (t) = i_{vid} - \frac{α i_{vid}}{2} + \frac{α i_{vid}}{γ T_{k}} t;

(2)

o laiko intervale $\gamma T_{\rm k}\leq t<T_{\rm k}$ :

i_{L} (t) = i_{v i d} + \frac{α i_{v i d}}{2} - \frac{α i_{v i d} (t - γ T_{k})}{T_{k} (1 - γ)} .

(3)

Srovės kituose schemos elementuose, kaip tai matyti iš 1 pav., atkartoja srovę droselyje energijos kaupimo ar atidavimo metu ir lygios nuliui kitais laiko momentais.

Efektinių verčių skaičiavimas

Bendru atveju laiko funkcija $i(t)$ aprašomos ir periodu $T$ atsikartojančios kintamos srovės efektinė vertė skaičiuojama iš išraiškos:

I = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2} (t) d t} .

(4)

Skaičiuojant raktu ST tekančios srovės efektinę vertę atsižvelgiama į tai, kad srovė $i_{ST}$ atkartoja srovę $i_{\rm L}$ energijos kaupimo metu, taigi jos kitimas aprašomas išraiška (2), ir lygi nuliui energijos atidavimo metu, todėl efektinė $i_{\rm ST}$ vertė bus:

I_{ST} = \sqrt{\frac{1}{T_{k}} \int_{0}^{γ T_{k}} {(i_{vid} - \frac{α i_{vid}}{2} + \frac{α i_{vid}}{γ T_{k}} t)}^{2} d t} .

(5)

Išraiškoje (5) esantis integralas skaičiuojamas pirma pritaikius sumos kvadrato formulę o vėliau integruojant atskirus sumos narius:

\int_{0}^{γ T_{k}} {(i_{vid} - \frac{α i_{vid}}{2} + \frac{α i_{vid}}{γ T_{k}} t)}^{2} d t = {(i_{vid} - \frac{α i_{vid}}{2})}^{2} γ T_{k} + (i_{vid} - \frac{α i_{vid}}{2}) α i_{vid} γ T_{k} + \frac{α^{2} i_{vid}^{2} γ T_{k}}{3} .

(6)

Išraišką (6) įrašius į (5) ir sutvarkius gaunama:

I_{ST} = i_{vid} \sqrt{γ (1 + \frac{α^{2}}{12})} .

(6)

Labai panašiai skaičiuojama ir raktu SD tekančios srovės efektinė vertė, tik šiuo atveju atsižvelgiama į tai, kad srovė $i_{\rm SD}$ atkartoja srovę $i_{\rm L}$ energijos atidavimo etapo metu, taigi jos kitimas aprašomas išraiška (3), todėl efektinės vertės išraiška bus:

I_{ST} = \sqrt{\frac{1}{T_{k}} \int_{γ T_{k}}^{T_{k}} {(i_{vid} + \frac{α i_{vid}}{2} - \frac{α i_{vid} (t - γ T_{k})}{T_{k} (1 - γ)})}^{2} d t} .

(7)

Išraišką (7) gali būti skaičiuojama visiškai identiškai kaip buvo apskaičiuota ir (5). Apskaičiavus gaunama tokia efektinės srovės vertės per raktą SD skaičiavimo išraiška:

I_{SD} = i_{vid} \sqrt{(1 - γ) (1 + \frac{α^{2}}{12})} .

(8)

Galiausiai efektinė droseliu tekančios srovės vertę $I_{\rm L}$ galima apskaičiuoti prisiminus, kad remiantis pirmuoju Kirchhofo dėsniu droseliu tekanti srovė lygi raktais ST ir SD tekančių srovių sumai. Žinoma taip sumuojant taip pat būtina prisiminti efektinių verčių sumavimo taisyklę: suminio signalo efektinės vertės kvadratas lygus signalo dedamųjų efektinių verčių kvadratų sumai, taigi analizuojamam uždaviniui gaunama:

I_{L} = \sqrt{I_{SD}^{2} + I_{ST}^{2}} = i_{vid} \sqrt{1 + \frac{α^{2}}{12}} .

(9)

Tarpusavyje lyginant gautas efektines srovių vertes aukštinančio keitiklio grandinėse matyti, kad srovės droselyje efektinė vertė, skirtingai nuo srovių raktuose efektinių verčių, priklauso tik nuo pulsacijų amplitudės ir nepriklauso nuo užpildomumo koeficiento $\gamma$ .

Vidutinių verčių skaičiavimas

Bendru atveju laiko funkcija $i(t)$ aprašomos ir periodu $T$ atsikartojančios kintamosios srovės vidutinė vertė $\overline{ı}$ skaičiuojama iš išraiškos:

\overline{ı} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i (t) d t .

(10)

Skaičiuojant raktu ST tekančios srovės vidutinę vertę atsižvelgiama į tai, kad srovė $i_{\rm ST}$ kartoja srovę $i_{\rm L}$ energijos kaupimo metu, t. y. šiame keitiklio darbo etape jos kitimas aprašomas išraiška (2), ir lygi nuliui energijos atidavimo metu, todėl gaunama:

{\overline{ı}}_{ST} = \frac{1}{T_{k}} \int_{0}^{γ T_{k}} (i_{vid} - \frac{α i_{vid}}{2} + \frac{α i_{vid}}{γ T_{k}} t) d t = i_{vid} γ (1 - \frac{α}{2}) + \frac{α γ i_{vid}}{2} = γ i_{vid} .

(11)

Labai panašiai skaičiuojama ir raktu SD tekančios srovės vidutinė vertė, tik šiuo atveju atsižvelgiama į tai, kad srovė $i_{\rm SD}$ atkartoja srovę $i_{\rm L}$ energijos atidavimo etapo metu, taigi jos kitimas aprašomas išraiška (3) ir vidutinės vertės skaičiavimo išraiška bus:

{\overline{ı}}_{SD} = \frac{1}{T_{k}} \int_{γ T_{k}}^{T_{k}} (i_{vid} + \frac{α i_{vid}}{2} - \frac{α i_{vid} (t - γ T_{k})}{T_{k} (1 - γ)}) d t = i_{vid} (1 - γ) .

(12)

Galiausiai vidutinę droseliu tekančios srovės vertę ${\overline{ı}}_{L}$ irgi galima skaičiuoti remiantis pirmuoju Kirchhofo dėsniu:

{\overline{ı}}_{L} = {\overline{ı}}_{ST} + {\overline{ı}}_{SD} = i_{vid} .

(13)

Taigi, 1 pav. $i_{\rm vid.}$ pažymėtas srovės stipris realybėje atitinka vidutinį srovės stiprį energiją kaupiančiame droselyje.